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8、参考平面和返回电流
- 返回电流分布规律为：\(i(d)=\frac{I_0}{\pi H}\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{d}{H}\right)^2}\)。返回电流电磁场分布与电流密度分布如图。
- 如图为返回电流和到参考平面距离的关系，离参考平面越远，返回电流则越低；离参考平面越近，返回电流越高。例如：
\[ \begin{gathered} \frac{H_{top}}{H_{bot}}=\frac{4}{1}\\ \frac{I_{return-top}}{I_{return-bot}}=\frac{1}{4} \end{gathered} \]
如图是同层导体返回电流的分布情况，以及右侧有一等线宽走线时各自的电流情况。返回电流主要集中在走线下方的平面，与走线同一层的相同平面返回电流很少。
传输线路径包含电磁波传输的物理环境，包括信号路径、参考路径 。
9、传输线延时与模型
\[ \begin{gathered} v_p=\frac{c_0}{\sqrt{\varepsilon_r}}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\\ \text{单位长度延时：}\tau_p=\sqrt{LC} \end{gathered} \]
\[\text{又} \begin{cases} \dfrac{c_0}{\sqrt{\varepsilon_r}}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\\ Z_0=\sqrt{\dfrac{L}{C}} \end{cases} \]
\[\text{则单位长度电容与单位长度电感} \begin{cases} L=\dfrac{Z_0}{c_0}\sqrt{\varepsilon_r}\\ C=\dfrac{1}{c_0 Z_0}\sqrt{\varepsilon_r} \end{cases} \]
则单位长度电感与单位长度电容只与走线的特性阻抗和介质的介电常数有关，而与介质厚度和线宽无关。
- 如图是理想传输线的集总参数模型，我们可以用等效的集总参数模型来“替代”传输线模型。
- 如图是短路状态与开路状态的电路模型图。
\[ \begin{cases} Z_{in-open}\approx\frac{1}{j\omega C}\\ Z_{in-short}\approx j\omega L \end{cases} \]
\[Z_{in - open} = Z_{in - short} = \frac{L}{C} = Z_0^2\]
\[Z_0 = \sqrt {Z_{in - open} \cdot Z_{in - short}}\]
\[ \begin{cases} Z_{in-open}=\frac{Z_0}{j\tan(\beta L)}\\ Z_{in-short}=j Z_0\tan(\beta L) \end{cases} \]
其中，\(\beta = \omega \sqrt{LC}\)为理想传输线的传播常数，\(l\)为传输线的长度。
- 两条耦合的传输线之间存在互感与互容。假设3个工作状态：
1、 quiet：一条线上无电压和电流。
\[\begin{cases} v_1 = L_0 \frac{d i_1}{dt} \\ i_1 = (C_0 + C_m) \frac{d v_1}{dt} \end{cases} \]
2、 odd-mode：一条信号线上信号正跳变（上升沿），另一条信号线同时反向跳变（下降沿）。
\[\begin{cases} v_1 = (L_0-L_m) \frac{d i_1}{dt} \\ i_1 = (C_0 + 2C_m) \frac{d v_1}{dt} \end{cases} \]
3、even-mode：两条信号线上信号同时同向跳变（同为上升沿）。
\[\begin{cases} v_1 = (L_0+L_m) \frac{d i_1}{dt} \\ i_1 = C_0 \frac{d v_1}{dt} \end{cases} \]
则\[\begin{cases} Z_{quiet} = \sqrt{\frac{L_0}{C_0 + C_m}} \\ Z_{odd} = \sqrt{\frac{L_0-L_m}{C_0 + 2C_m}} \\ Z_{even} = \sqrt{\frac{L_0+L_m}{C_0 }} \end{cases} \]
同样，这些阻抗会随着线间距的变化而敏感变化，尤其是在内层走线中。
10、有损传输线
主要来源为：
1、导线电阻损耗；
2、介质损耗（源于介质极化）；
3、耦合到相邻线（串扰）；
4、阻抗不连续；
5、EMI。
趋肤效应：电流密度趋于导体表面。
\[
\alpha = \sqrt{\frac{\omega \mu \sigma}{2}}
\]
其中\(\alpha\)为衰减因子，\(\mu\)为磁导率，\(\sigma\)为电导率。由于良导体\(\sigma\)较大，则透入导体后很快就衰减为0。电流密度随深度变化\(z\)的变化规律为：\(J = (\sigma E_0 e^{- \alpha z})e^{- j \alpha
z}\)。
高频时我们关心的是电流会集中在导体表面内多深的范围内。电磁场场强振幅衰减到表面场强\(1/e\)的深度称为趋肤深度，以\(\delta\)表示。
\[\delta = \sqrt{\frac{1}{\pi f \mu \sigma
}}\]
直流电阻：\(R_{DC} = \frac{1}{\sigma
A}\)
交流电阻：\(R_{AC} = \frac{1}{\sigma \delta(f)
p}\)，其中\(p\)为横截面积周长。
则有\(R_{AC} = \frac{R_0}{\sqrt{f_0}} \cdot
\sqrt{f}\)，\(f_0\)为远高于趋肤效应起作用的频点，则\(R_{AC}\)随频率的平方根变化。
传导性损耗：宽走线有利于减小传输线的损耗。频率越高损耗就会越大。
表面粗糙度：
\[ \begin{cases} \alpha_{rough}=K_{SR}\cdot\alpha_{smooth}\\ K_{SR}=1+\frac{2}{\pi}\arctan\left[1.4(\frac{\Delta}{\delta})^2\right] \end{cases} \]
其中 \(\Delta\) 为表面粗糙度的 RMS
值，\(\delta\) 为趋肤深度。
\[RMS\uparrow\rightarrow 越粗糙\rightarrow
K_{SR}\uparrow\rightarrow\alpha_{rough}\uparrow\]
11、介质损耗
\[
\varepsilon = \frac{\varepsilon '}{\varepsilon_0}(1- j \frac{
{\varepsilon}^2}{\varepsilon'})
\]
其中，\(\frac{
{\varepsilon}^2}{\varepsilon'}\)用角度为\(\delta\)的正切\(\tan
(\delta)\)表示，这即是损耗角正切。
\[
\varepsilon _r= Dk(1-j \cdot Df)
\]
有损传输线我们通常通过RLGC模型建模。
